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丁玖：迭代指数函数

讲者信息：

丁玖：美国南密西西比大学数学教授，《数学文化》杂志编委。曾获任教大学教学奖和研究奖，2013年出版了科普著作《智者的困惑—混沌分形漫谈》及工具书《数学之英文写作》（与汤涛合作），2016年出版了新作《亲历美国教育：三十年的体验与思考》。

 

讲座内容：

这一系列微慕课主要是认识离散动力系统的一些基本思想，探讨“动态”的指数函数，发现其中的有趣现象。借助几何直观的方法及单调函数的性质，研究指数函数的迭代，得出更多实质性的结论。

 

1.指数迭代收敛问题

这节首先简单介绍了伯努利问题与指数的迭代数列， 两者有密切相关的联系。那么对于指数迭代数列收敛与否，欧拉对底a大于1的情形给出了一个部分解答，指出当底a>1时，指数迭代数列收敛当且仅当a≤e^{1/e 。}

 

2.离散动力系统概括及中值定理

这节首先介绍了离散动力系统的基本概念，其主要研究函数的迭代次数趋向无穷大时，迭代点序列的渐近行为。对于函数的不动点，在几何上等价于它的图像和对角线的所有交点，并简单回顾了微分学的中值定理。

 

3.吸引及排斥不动点的证明

认识并了解吸引及排斥不动点的定理，并给出相关证明。吸引不动点表示若函数图像在不动点处的切线斜率绝对值小于1，则从不动点附近的点出发的迭代点收敛到该不动点。而排斥不动点则表示如果函数在该不动点处的导数绝对值大于1，则在不动点附近之点的迭代点不可能收敛到该不动点。

 

4.指数函数的基本性质

这一节开始研究研究指数函数从任一初始点出发的迭代点列的最终性态。首先是需要了解指数函数的性质及其图像，并学习单调数列的敛散性和连续函数的性质，为之后的研究证明准备。

5.指数函数的迭代11/e

当底数a>1从靠近1递增到远离1时，函数的图像越来越陡。我们根据底数a的范围分三种情形考察，分别是a在1<a<e^1/e，=e^1/e，>e^1/e。首先这节介绍的是当1<a<e^1/e，a^x有两个不动点，x和y，通过研究和证明，可以得出指数函数的两个不动点的吸引域。

6.指数函数的迭代底数 a≥e^1/e

当底数a=e^1/e时，其吸引域(-∞,e]，当底数a>e^1/e时，a^x的迭代点列{x_n}对任意的初始点x₀都发散到无穷。这节主要总结介绍了当底数a>1时，指数迭代数列的收敛性。因a的x次方在a=e^1/e两旁有截然不同的迭代性质，则这被称为一个切线型分支点。

 

7.指数函数的迭代及自我复合：0<a<1

当底数a是小于1的一个正数，函数是严格递减的，总有一个唯一的不动点。由于“分支点”是个关键的参数分离点，所以这节首先会对新的分支点进行计算，然后定义指数函数的复合函数，发现函数的周期点。

 

8.指数函数的迭代： e^-e≤a<1

对于0<a<1，我们也分别考察三种情形，即e^-e<a<1，=e^-e，0<a<e^-e。根据单调收敛定理及指数函数的连续性可得，当e^-e<a<1，=e^-e时，指数函数的不动点及其吸引域。

 

9.指数函数的迭代：0-e

当0<a<e^-e时，g=f²有三个不动点，一个为f的不动点，另两个是f周期为2的点。周期-2轨道（f周期为2的两个不动点之前的区域），吸引域为(-∞,∞)\{x^*(a)}，不动点{x^*(a)}的吸引域为独点集{x^*(a)}。

 

10.指数函数的迭代0<a<1的总结

这节总结了对于底数0<a<1指数函数ax迭代，a与e-e比较的三种情形，并介绍了Joel Anderson结论。对于分支点a*= e-e，当参数 a通过后，原先引吸不动点变成排斥不动点，但又产生了一个吸引的周期-2轨道，因为该分支点被称为干草叉型分支点。