标题：

丁玖：三角形的迭代 从有序到混沌

讲者信息：

丁玖：美国南密西西比大学数学教授，《数学文化》杂志编委。曾获任教大学教学奖和研究奖，2013年出版了科普著作《智者的困惑—混沌分形漫谈》及工具书《数学之英文写作》（与汤涛合作），2016年出版了新作《亲历美国教育：三十年的体验与思考》。

 

讲座内容：

这系列慕课主要带领我们用现代的观点处理三角形的迭代，从有序到混沌，了解各种情形下，迭代最终形态的区别及原因，并通过函数、矩阵、统计等多种方法去研究了解三角形迭代过程。同时，也介绍了Sierpinński三角形及其维数的计算。

 

1.三角形的迭代：正规性态之例一(1)

用现代的观点处理三角形的迭代问题，考察迭代次数趋于无穷大时，几何图形的最终形态是可预测还是不可预测的。首先是介绍三角形无穷次迭代的最终形态是正规性态的第一个例子，任做一个三角形的圆，三个切点确定一个新的三角形，发现第二个三角形与初始三角形的内角关系，不断迭代下去，推出关于n的迭代公式线性函数，得出当迭代次数趋向无穷大时，迭代数列都收敛到极限60，即数60是函数的不动点。

 

2.三角形的迭代：正规性态之例一(2)

这节介绍了用矩阵方法研究无穷迭代的极限问题，迭代公式中各个因数的系数为矩阵M的元素，矩阵M是一个双随机矩阵。通过观察，得出三角形的内角列向量序列收敛与否等价于矩阵M的n次幂序列是否收敛，由Perron-Frobenius定理可以推出，对任意的初始三角形，迭代三角形的最终形状总是等边三边形，是这个迭代的吸引不动点。

 

3.三角形的迭代：正规性态之例二

这节主要介绍三角形无穷迭代最终形态是正规形态的第二个例子，任做一个三角形的内切圆，连接圆心与其三顶点的三条直线与圆相交于三个点，形成一个新的三角形，一直迭代下去，通过计算内角，得出迭代次数趋于无穷，其最终形状是等边三角形。如果采用矩阵方法，根据系数可以得到一个正的双随机矩阵，根据Perron-Frobenius定理，也可得出等边三角形是这个迭代过程的吸引不动点。

 

4.垂足三角形的最终性态是“不可预测”的

任取一个三角形。做它的垂足三角形，然后一次次如此迭代下去，发现垂足三角形序列的最终性态是复杂的，是不可预测的，有任意的周期。垂足三角形迭代具有周期-3点这个事实。

 

5.垂足三角形迭代过程的表达式

根据垂足三角形的几何性质，可以得出垂足三角形与原先三角形的三个角及三条边之前的关系。根据垂足三角形是否为锐角三角形或三种情况之一的钝角三角形，下一个垂足三角形的三内角列向量等于当前三角形类型产生的矩阵乘上当前的垂足三角形的三内角列向量，得到垂足三角形迭代过程的一般表达式。

 

6.证明垂足三角形迭代的最终形状

垂足三角形的迭代需要四个矩阵的参与，是一个非线性的迭代。四个矩阵均不是非负的，但每列之和依然为1，被称之为拟-列随机矩。根据三角形内角关系，将其指标域分为四种情形，从指标域到自身的垂足映射就是垂足三角形与原先三内角之间的函数关系。指标域映到自身的垂足映射是二维的“帐篷映射”，根据李-约克混沌定理，其轨道是混沌的。

 

7.从统计的观点观察三角形的迭代

这节将用统计的观点来观察三角形的迭代，观察垂足映射的迭代点序列进入三角形指标域内的一个给定子集的频率。引入集合的特征函数，计算其相对频率和频率。

 

8.分形：Sierpinński垂足三角形

这节首先介绍了如何构造Sierpinński垂足三角形的分形，其都是相似于初始三角形的，即它的任一部分放大后都与整体一模一样。同时，借助图形认识经典Sierpiński三角形，即初始三角形是等边的。

 

9.维数的概念

这节首先介绍 了Sierpiński垂足三角形的维数定义，然后根据其相似性，推出维数的计算公式，是由“放大因子、小片个数以及它们的对数比值算出的。对于不太“规则”的几何图形，它的维数可以不是整数，康托尔的三分集及科赫的雪花曲线便是经典分形的维数例子。

 

10.Sierpinński三角形的维数

这节总结了对于底数0<a<1指数函数a^x迭代，a与e^-e比较的三种情形，并介绍了Joel Anderson结论。对于分支点a^*= e^-e，当参数 a通过后，原先引吸不动点变成排斥不动点，但又产生了一个吸引的周期-2轨道，因为该分支点被称为干草叉型分支点。